Расчет плотности тела и формулы расчета массы и объема тела по плотности. Определения объема формула

Формулы объема геометрических фигур.

Объем геометрической фигуры - количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Объем куба

$Куб$

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

где

- объем куба,

- длина грани куба.

Объем призмы

$призма$

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

где

- объем призмы,

- площадь основания призмы,

- высота призмы.

Объем параллелепипеда

$параллелепипед$

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

где

- объем параллелепипеда,

- площадь основания,

- длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

$прямоугольного параллелепипед$

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

где

- объем прямоугольного параллелепипеда,

- длина,

- ширина,

- высота.

Объем пирамиды

$пирамида$

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

где

- объем пирамиды,

- площадь основания пирамиды,

- длина высоты пирамиды.

Объем правильного тетраэдра

$правильный тетраэдр$

Формула объема правильного тетраэдра

где

- объем правильного тетраэдра,

- длина ребра правильного тетраэдра.

Объем цилиндра

$цилиндр$

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

V =
π R
2
h
V =
So h

где

- объем цилиндра,

- площадь основания цилиндра,

- радиус цилиндра,

- высота цилиндра,

π = 3.141592

Объем конуса

$конус$

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

где

- объем конуса,

- площадь основания конуса,

- радиус основания конуса,

- высота конуса,

π = 3.141592

Объем шара

$шар$

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара

где

- объем шара,

- радиус шара,

π = 3.141592

Добавить комментарий

o-math.com

Объем цилиндра: формула, калькулятор - 24СМИ

Как отличить человека технической специальности от человека с гуманитарным складом ума? Спросите каждого, что такое цилиндр. Первый скажет, что это геометрическое тело, второй вспомнит мужской головной убор 19 века. Оба будут правы, да и шляпа получила такое название благодаря особенной форме, основой которой являлась та самая фигура из геометрии. Итак, каковы особенности цилиндра и как рассчитать его объем.

Расчет объема цилиндра

Слово «цилиндр» произошло от древнегреческого kylindros, означающего «валик». Математики дают несколько определений цилиндру:

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее под прямым углом.
Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Цилиндр — геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одной из его сторон.

Фигура цилиндр

Все эти определения верны. Также стоит отметить основные части цилиндра:

Основания — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями.
Боковая поверхность цилиндра — поверхность между плоскостями оснований.

Если в основании цилиндра лежит круг, то его называют круговым. Существуют и другие виды цилиндров, в зависимости от формы основания — эллиптический, гиперболический, параболический и т.д.

Также все цилиндры делятся на прямые и наклонные. У каждого цилиндра есть образующие — это отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований. Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым, а если образующие расположены под углом — цилиндр наклонный или косой.

Рисунок цилиндра

Есть и другие общие понятия для цилиндров:

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Итак, как же вычислить объем цилиндра. Посчитать объем прямого кругового цилиндра можно на калькуляторе. Он равен произведению площади основания на высоту.

V = πR2h,

где V — объем цилиндра, R — радиус основания, h — высота цилиндра, а «пи» — константа, равная 3,14.

Объем цилиндр

Таким же образом вычисляется объем прямого кругового цилиндра через диаметр окружности основания — d.

V = πhd2/4

Если цилиндр прямой, но не круговой, то формула вычисления объема представляет произведение длины образующей – n на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей — S.

V = n * S

Наклонный цилиндр

Если цилиндр наклонный, то в формуле участвует и синус угла наклона (альфа) образующей к основанию. В этом случае объем вычисляется по формуле:

V = S * n * sin α

Исчисляется объем цилиндра в кубических единицах.

Если стоит задача найти объем описанного вокруг сферы цилиндра, то расчеты будут такими:

Цилиндр и сфера

Радиус цилиндра равен радиусу сферы — R. Высота цилиндра равна диаметру сферы. Диаметр есть удвоенный радиус — 2R. Таким образом объем прямого описанного цилиндра равен произведению площади основания πR2 («пи» умножить на радиус в квадрате) на высоту, т. е. 2R.

V = 2R * πR2

Приведя формулу к должному виду получим:

V = 2πR3

Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то, зная длину стороны его основания и высоту, можно найти объем.

Цилиндр, вписанный в параллелепипед

В этом случае радиус основания цилиндра равен половине длины стороны основания параллелепипеда — а. Высота цилиндра и параллелепипеда совпадают, обозначим h. Тогда объем вычисляется по формуле:

V = πh(a/2)2

Где применяется расчет объема цилиндра

Расчет объема цилиндра учащиеся проходят в средней школе. Во взрослой жизни эти знания применяют в своей работе инженеры и конструкторы различных машин и механизмов, потребительских товаров, а также архитекторы.

Из товаров народного потребления форму цилиндра имеют стаканы, кружки, бокалы, кастрюли, термосы и прочая посуда, а также некоторые вазы, банки и упаковки напитков либо средств бытовой химии. Объем таких цилиндрических предметов исчисляется в литрах.

Стаканы имеют цилиндрическую форму

Рассчитывается объем цилиндра при производстве медицинских шприцов. От полученного объема зависит точное количество медикаментов, вводимое пациенту при инъекциях. Лекарства в жидкой форме, суспензии, растворы помещаются в стеклянные или пластиковые бутылочки цилиндрической формы, а на бирке указывается объем средства.

Распространены цилиндры и в технике: такой вид имеют валы и их отдельные составные части, используемые в двигателях внутреннего сгорания. К тому же, расчет объема цилиндра – задача, которую приходится решать конструкторам при проектировании современных бензиновых и дизельных силовых агрегатов, ведь от этого параметра зависят характеристики, в первую очередь, мощность. Двигатели внутреннего сгорания снабжаются поршнями, которые также имеют цилиндрическую форму.

Расчет цилиндрического вала

Архитекторам приходится рассчитывать объем цилиндра при проектировании зданий, снабженных колоннами. Правда, эти архитектурные элементы в классическом варианте (вместе с базой и капителем) встречаются редко, но упрощенные разновидности, состоящие из одного ствола (который и представляет собой цилиндр) используются часто.

Чрезвычайно распространенные детали, которые присутствуют в конструкциях технических устройств — роликовые подшипники. Как нетрудно догадаться по названию, главный компонент — прочные и износостойкие металлические цилиндрические ролики. Благодаря такой геометрии, эти детали обладают большой несущей способностью и способны выдерживать нагрузки. Роликовые подшипники — высокоточные детали, и поэтому при их создании правильный расчет объема цилиндра (ролика) играет немаловажную роль.

24smi.org

Формула расчета кубатуры для определения объема бревна

При покупке необработанного леса каждый кубический дециметр для нас очень важен. Особенно если мы точно рассчитали количество необходимого леса для последующего распила либо оцилиндрованных бревен. Поэтому очень важно знать точный объем поставляемого леса-кругляка.

Обмер и учет лесных материалов.

Так как пиломатериалы и поставляемый вес при расчетах учитывают в кубических метрах, то стоимость леса измеряется в денежных единицах за кубический м.

Поэтому нужно знать фактический объем древесины, которую вы заказываете или покупаете.

Этот объем, выраженный в кубических метрах, и будет кубатурой леса.

Произведение расчета кубатуры леса по кубатурнику

Пример расчет кубатуры бревна с помощью он-лаин программы.

Наиболее распространенным методом определения объема круглого бревна является использование кубатурника. Это специальная таблица расчета кубатуры. Кубатурник позволяет по длине бревна с шагом 0,5 метра и диаметру хлыста (более тонкой части бревна) определить объем данного бревна в кубических метрах с точностью до тысячных. Для этого измеряются диаметр вершины бревна и длина бревна и по ним проводят расчет кубатуры в кубатурнике. Если сечение бревна на срезе хлыста недостаточно круглое, тогда измеряется самый большой диаметр и самый малый при перпендикулярных измерениях. Из них вычисляется среднее, округляют его до ближайшего целого, по которому и ищут в кубатурнике объем бревна. Кубатурник регламентирован ГОСТ 2708-75 , ISO 4480-83 ”Лесоматериалы круглые. Таблицы объемов”.

При необходимости вычисления объема древесины в складометрах нужно вычислить объем каждого бревна и их сложить.

Если длина бревна намного больше, чем есть в кубатурнике, то вычисление кубатуры бревна производят путем сложения кубатуры двух его составляющих.

Однако этот метод вычисления довольно неточен и может привести к большой переплате за поставленный лес.

Поэтому приходится искать более точные методы вычисления объема круглого леса.

Вернуться к оглавлению

Расчет кубатуры оцилиндрованного бревна

Расчет кубатуры оцилиндрованного бревна и профилированного бруса.

Если бревна оцилиндрованные, то точный объем этого бревна можно рассчитать по формуле вычисления объема цилиндра:

V = π*D2*L/4, где

V — кубатура бревна, м3;
D — диаметр бревна, м;
L — длина бревна, м;
π — постоянная.

Но мы стремимся узнать более точный объем необработанного круглого леса, бревна которого имеют сбежистость.

Сбежистостью называют изменение диаметра круглых бревен лесоматериалов от одного конца к другому. Она измеряется в % и вычисляется делением разницы диаметров на длину, на которой эта разница обнаруживается. Нормальный сбег (сбежистость) равен 1% (1 см на 1 м длины бревна). Сбежистость увеличивает количество отходов при их распиловке и оцилиндрении бревен.

Вернуться к оглавлению

Формула расчета кубатуры леса

Таблица расчета кубатуры бревен.

В стандартном кубатурнике предусматривается некоторая сбежистость, и поэтому все данные в нем вычислены по диаметру хлыстов вершины.

Но сбежистость у разных деревьев бывают разная. Нормальная сбежистость принимается только для хвойных деревьев, и то лишь при укрупненных расчетах. Для насаждений ІІ и ІІІ бонитетов среднее значение сбежистости в промежутке диаметров бревна от 14 до 60 см колеблется от 0,8% до 1,8%.

Поэтому предлагается следующий способ более точного определения фактического объема бревна необработанного леса. Для начала измеряется диаметр бревна на вершине и его длина, а затем измеряется диаметр комля одного из наиболее характерных по сбегу бревен. На следующем этапе вычисляется сбежистость бревен — разница диаметров комля и хлыста делится на длину бревна. Например, если бревно длиной 8 м имеет диаметр на вершине в двух перпендикулярных направлениях 14 и 16 см, а диаметр среза в комлевой части 22 и 24 см, то сбежистость бревна вычисляем по формуле:

С=(D1+D2-d1- d2) / 2L, где

d1,d2 — диаметр бревна на верхнем срезе (хлысте) соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
D1,D2 — диаметр бревна на нижнем срезе (комле) соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
L — длина бревна, м.

В нашем случае С = (22+24-16-14) см²* 8 м=1,0 см/м.

То есть для данной древесины на одном метре длины ствола его диаметр уменьшается от комля до хлыста на 1,0 см (нормальная).

При правильной окружности срезов, когда d1=d2 и D1=D2; С=(D-d) /L

Зная длину бревна и диаметр одного конца (нижнего или верхнего) по формуле вычисления, которая выведена из геометрической формулы объема усеченного конуса, определяем объем любого бревна:

V =π * (D2+D*d + d2) *L/120000, где

d =(d1+d2)/2 — диаметр бревна на верхнем срезе (хлысте), вычисленный по его размерам соответственно по двум перпендикулярным направлениям, см;
D =d+С*L — диаметр бревна на нижнем срезе (комле), вычисленный исходя из диаметра бревна на верхнем срезе (хлысте) и его сбежалости, см;
L — длина бревна, м;
С — сбежалость, см/м.

В приведенном выше случае V = 3,14* (232+ 23* 15+152)* 8/12000=0,23 м3 , хотя таблица расчета по кубатурнику дает объем 0,199 м3. Результат очевиден.

Поэтому, если лес покупать, лучше измерять по ГОСТу, а если продавать, то по приведенной формуле.

masterbrusa.ru

Формулы для определения объема ствола дерева

содержание .. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ..

5.3

Формулы для определения объема ствола дерева

По диаметрам, измеренным на разной высоте по стволу, определяемым по приведенным выше уравнениям, могут быть найдены площади поперечных сечений древесных стволов по следующей формуле:

g=A+Bx+Cx2+Dx3, (5.20)

где g – площадь поперечного сечения ствола;

х – расстояние от шейки корня до рассматриваемого сечения;

A,B,C,D – некоторые постоянные коэффициенты.

Определив площади поперечных сечений стволов, легко найти объем ствола или его части V. Этот объем можно рассматривать как сумму бесконечно тонких поперечных отрезков, имеющих высоту dx и площадь основания g.

Соответственно этому:

. (5.21)

Подставим вместо g его значение, вычисленное по формуле (5.21):

. (5.22)

Первообразная для xn будет функция , отсюда

. (5.23)

Для определения объема ствола или его части сначала можно ограничиться двумя членами подынтегрального выражения. В этом случае:

g=A+Bx (5.24)

. (5.25)

Для нахождения коэффициента А и В берут два конкретных сечения: g0 у основания ствола и gL – на расстоянии L от шейки корня (рисунок 5.6). Затем составляют два уравнения, определяющих площади этих сечений:

g0=A+Bx0 и gL=A+BxL. (5.26)

в этих уравнениях x0 = 0, xL = L. Поэтому можем написать:

g0=A; gL=A+BL. (5.27)

Решая последнее уравнение относительно В, получим:

. (5.28)

Подставив в формулу (5.23) вместо А и В вычисленные значения этих коэффициентов и вместо х равную ему величину L, получим:

. (5.29)

Эта формула (5.29) в лесной таксации называется простой формулой Смалиана.

Рисунок 5.6 Схема определения объёма ствола по простым

формулам

Возьмем одно поперечное сечение на половине целого ствола или его части, а второе в тонком конце. Местоположение первого сечения определяется величиной , а второго – на расстоянии L от основного ствола. Обозначив первое сечение через , а второе gL можно написать:

(5.30)

Обе части первого уравнения увеличим в 2 раза:

Из первого уравнения вычтем второе:

, (5.31)

Заменим во втором уравнении величину А выражением , получим:

. (5.32)

Подставим найденные значения А и В в основную формулу (5.23):

Заменив х через L, получим:

. (5.33)

Обозначим поперечное сечение на половине ствола или его части греческой буквой γ (гамма), тогда формула примет следующий вид:

. (5.34)

Эта формула (5.34) основная в лесной таксации. Она называется формулой срединного сечения, или формулой объема цилиндров. Впервые она была применена лесоводом Губером. В связи с этим ее называют простой формулой Губера.

Чтобы вывести следующую формулу, первое поперечное сечение возьмем на расстоянии от комля, равном 1/3 высоты ствола, а второе – в верхнем конце ствола или его отдельной части, обозначив первое сечение через и второе через .

Соответственно этим условиям составляем два уравнения:

Увеличим в 3 раза обе части первого уравнения, получим:

Из полученного уравнения вычтем второе:

Отсюда:

Заменив во втором уравнении А выражением , находим, что

Подставим в основную формулу (5.32) найденные значения А и В и заменив х через L, получим

(5.35)

Эта формула (5.35) называется формулой Госфельда.

Для целых стволов, у которых площадь поперечного сечения в верхнем конце равна нулю, формула Госфельда будет иметь такой вид:

. (5.36)

В рассмотренных трех формулах были использованы два члена подынтегрального выражения. Для получения более точного результата можно взять три члена подынтегрального выражения.

В этом случае:

g=A+Bx+Cx2,

а объем ствола или его части

Для нахождения коэффициентов A, B и C составляют три уравнения, определяющие площади поперечных сечений: в комлевом конце, на середине и в верхнем конце ствола или его части.

; .

х0 = 0, отсюда g0 = А. Заменив А через g0, будем иметь

Обе части первого уравнения увеличим в 4 раза:

Из этого уравнения вычтем второе:

Следовательно,

Заменив во втором уравнении BL выражением , получим:

При трех членах подынтегрального выражения объем ствола или его части равны

Заменив х через L, получим

. (5.37)

Подставив вместо A, B и C ранее найденные величины, будем иметь:

Обозначив площадь сечения на середине длины через γ, получим:

. (5.38)

Эта формула (5.38) пригодна для определения объемов всех тел вращения: цилиндра, параболоида, конуса и нейлоида. В математике она называется формулой Ньютона. В лесной таксации эту формулу первым применил немецкий лесовод Рикке. В связи с этим ее называют простой формулой Ньютона – Рикке.

Располагая поперечные сечения в иных точках, можно вывести другие формулы, определяющие объем ствола или его части. Кроме того, имеется ряд других эмпирических формул, но на практике они применяются редко.

При пользовании рассмотренными выше простыми формулами для определения объема древесный ствол или его часть уподобляют правильному геометрическому телу, в данном случае параболоиду, поскольку для образующей древесного ствола взято уравнение кубической параболы.

Обобщая изложенное, отметим, что для определения объемов ствола используют 3 наиболее распространенные формулы: Губера (5.34), Смалиана (5.29) и Ньютона – Рикке (5.38). Хотя формула Госфельда (5.35, 5.36) не уступает названным по точности, но ее в практике почти не используют из-за более сложной техники измерений, т.к. требуется находить диаметр на 1/3 длины ствола.

Простые стереометрические формулы не могут в полной мере отразить форму древесного ствола. Поэтому их точность, как будет показано ниже (в 5.4), невысока. Применение названных формул ограничено, и они используются лишь для ориентировочных оценок объемов стволов. Применение простых стереометрических формул (Губера, Смалиана) оправдано для коротких отрезков ствола (до 3 м, но лучше не более 2 м), которые обычно соответствуют правильным телам вращения. Для установления объемов стволов и более длинных его отрезков в науке, а при необходимости в практике применяют сложные (секционные) стереометрические формулы.

содержание .. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ..

zinref.ru

7.3 Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох;. Применим метод 2.

Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси ох. Обозначим черезплощадь сечения тела этой плоскостью.считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении. Черезобозначим объем части тела, лежащие левее плоскости. Будем считать, что на отрезкевеличинаесть функция от, т.е.. Теперь найдем дифференциал функции. Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими осьв точкахи, который можно приближено принять за цилиндр с основаниеми высотой(рис.1). поэтому дифференциал объема. Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах отдо.

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида. Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскостии на расстоянииот нееполучим эллипс (см. рис. 2).

Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида

б) Объем тела вращения

Пусть вокруг осивращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линиейотрезкоми прямымии. Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси, проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса. Следовательно,. Поскольку- выражение для объема тела вращения вокруг оси. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функциии прямымипри условии, то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси, по аналогии с полученным выше можно записать:

в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластина), ограниченная кривойи прямыми(рис. 2). Будем считать, что плотность пластиныесть величина. Тогда масса всей пластины, т.е.Выделим элементарный участок пластины в виде бесконечно малой узкой вертикальной полосы и будем считать его прямоугольником. Его масса равна. Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Это точкастоит от осина расстоянии, а от осина расстоянии. Тогда для элементарных статистических моментов относительно осейиполучим следующие соотношения:и. Отсюда;. Если обозначим координаты центра тяжести плоской фигурыто получим, что;, т.е.илии.

8. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции. Если можно найти первообразнуюфункции, то интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:

. Но поиск первообразной функции иногда весьма сложен, кроме того не для всякой функции первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых интеграл находится с любой степенью сложности.

8.1. Формулы прямоугольников

Пусть на отрезкезадана непрерывная функция. Требуется вычислитьинтегралчисленно равный площади соответствующей трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезокнаравных частей длиныс помощью точек. Можно записать, что. В середине каждого отрезка. Построим ординатуграфика функции. Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью. Тогда сумма площадей всех прямоугольников даст площадь фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла:. Эта формула и называется формулой прямоугольников. Абсолютная погрешность оценивается с помощью следующего соотношения, где- максимальное значениена отрезке.

studfiles.net

Расчет плотности тела и формулы расчета массы и объема тела по плотности

Оглавление:

Какие факторы влияют на плотность тела?
Как рассчитать плотность тела?
Расчет массы тела и объёма по плотности
Плотность воды
Метод вытеснения жидкости

Окружающий мир состоит из множества различных веществ. Так, например, лавочка в парке или баня за городом сделаны из дерева, платформа утюга и сковорода сделаны из металла, покрышка на колесе и ластик на карандаше сделаны из резины. Различные предметы имеют различный вес — любой человек без труда донесёт с рынка сочный спелый арбуз, а вот гирю такого же размера вряд ли удастся оторвать от земли.

Всем известная знаменитая шутка: «Что тяжелее — килограмм ваты или килограмм гвоздей?» очень точно характеризует понятие плотности тела. Почему разные предметы, имея одинаковый объём, различаются по весу? Потому что они состоят из различных веществ и имеют разную плотность. В системе измерений данную величину принято измерять в кг/м³, но также возможно использование и других единиц: кг/л, г/см³.

Видео о плотности тела

Какие факторы влияют на плотность тела?

Плотность одних и тех же тел зависит от давления и температуры. Как правило, при высоком давлении молекулы утрамбованы плотнее, и, соответственно, вещество имеет бо́льшую плотность. Обычно при повышении температуры расстояние между молекулами увеличивается, что приводит к уменьшению плотности. Бывают случаи, когда такая зависимость имеет обратное значение. Так, например, плотность воды меньше плотности льда, несмотря на то что лёд имеет более низкую температуру. Причина такого явления — молекулярная структура льда. Часто вещество, переходя из жидкого в твёрдое состояние, изменяет свою молекулярную структуру таким образом, что расстояние между молекулами сокращается, и, соответственно, плотность становится больше. Когда образуется лёд, расстояние между молекулами и их объём становятся больше, а плотность — меньше. Поэтому в зимнее время, если забыть слить с труб воду, она замёрзнет, в результате чего труба разорвётся.

На плотность воды влияют и примеси, которые в ней находятся. Так, например, у морской воды плотность больше, чем у пресной. Если налить в сосуд солёную воду, а сверху — пресную, то последняя будет «плавать» на поверхности морской воды. Поскольку визуально данное явление увидеть сложно, то для эксперимента можно заполнить резиновый шар пресной водой и поместить его в солёную. Шар будет плавать на её поверхности. Можно сказать, что человеческое тело также представляет собой оболочку, наполненную пресной водой, поскольку, как известно, оно состоит из воды примерно на 50-75%. Поэтому держаться на поверхности солёной воды гораздо легче, чем пресной. И чем больше концентрация соли в воде, тем более она плотная.

Как рассчитать плотность тела?

Расчет плотности тела производится по следующей формуле:

К примеру, вода имеет плотность 1000 кг/м³, а лёд — 900 кг/м³. Поскольку лёд имеет меньшую массу по сравнению с водой, то зимой на водоёме он всегда находится на поверхности воды. В данном случае можно определить, что, если плотность льда равняется 900 кг/м³, значит, ледяной куб со стороной 1 м будет весить 900 кг.

Для того чтобы рассчитать плотность, необходимо знать его объём и массу. Это значит, что вещество можно взвесить, измерить, и на основании полученных данных вычислить плотность по формуле. Поскольку плотность измеряется в кг/л или в г/см³, то иногда приходится пересчитывать одни величины в другие. Делается это очень просто:

1 грамм = 0,001 кг, а 1 см³ = 0,000001 м³, и соответственно:
1 г/(см)^3 =1000кг/м^3

Иногда необходимо рассчитать плотность газообразного вещества. Для этого используется та же формула для расчета плотности тела, но несколько в другом виде:

где М — молярная масса газа, Vm— молярный объём (равен приблизительно 22,4 л/моль).

Масса всех тел всегда зависит не только от их размеров, но и от веществ, из которых они состоят. Так, тела, имеющие одинаковый объём, но состоящие из различных веществ, будут отличаться друг от друга своими массами. И наоборот, если у тел массы одинаковы, но состоят они из разных веществ, то их объёмы также будут отличаться. Например:

Куб из железа с рёбрами по 10 см весит 7,8 кг.
Куб из алюминия такого же размера весит 2,7 кг.
Ледяной куб с аналогичными размерами весит 0,9 кг

Расчет массы тела и объёма по плотности

Часто возникает необходимость рассчитать массу или объём тела. При этом следует знать, что каждое тело имеет постоянную определённую плотность. К примеру, вода имеет плотность 1000 кг/м³, этиловый спирт — 800 кг/м³.

Поскольку величины постоянные, то для каждого вещества существуют специальные таблицы, которыми пользуются при расчетах.

Исходя из основной формулы определения плотности тела, можно легко рассчитать и его объём или массу:

Для примера можно решить простые задачи:

Задача № 1

Необходимо определить массу детали, выполненной из стали, если известно, что её объём составляет 120 см³.

Для того чтобы вычислить массу, требуется знать объём и плотность вещества. По условию задачи объём известен, а плотность необходимо найти по таблице (плотность стали = 7,8 г/см³). Тогда расчет массы тела по его плотности и объёму будет иметь следующий вид:

Задача № 2

Требуется рассчитать объём бутылки подсолнечного масла, если известно, что её масса составляет 930 г.

Для того чтобы определить объём, необходимо знать массу и плотность. Масса известна, а плотность нужно найти по таблице (плотность подсолнечного масла = 0.93 г/см³). Тогда:

Расчет массы и объёма тела по плотности выполняется при помощи следующих таблиц:

Плотность воды

Если плотность вещества больше, чем плотность воды, то оно будет полностью погружаться в воду. И наоборот, предметы, сделанные из материала, плотность которого ниже плотности воды, будут плавать на её поверхности. Примером данного правила является лёд, плотность которого меньше плотности воды. Поэтому кусочек льда, брошенный в воду или другой напиток, сделанный из воды, всплывёт на поверхность.
В практической жизни эти свойства веществ часто используются человеком. К примеру, конструируя корпуса судов, инженеры используют материалы, плотность которых выше, чем плотность воды. Поскольку таким материалам свойственно тонуть в воде, то в корпусах суден необходимо создавать полости с воздухом — ведь его плотность значительно ниже плотности воды.
В другом примере, когда требуется, чтобы предмет погружался в воду, необходимо выбирать материалы с плотностью выше, чем плотность воды. К примеру, чтобы лёгкая наживка для рыб во время рыбалки погрузилась в воду на достаточную глубину, рыболов привязывает к леске грузило, сделанное из материала высокой плотности. Обычно в качестве грузила используется свинец.
Плотность масла, жира, нефти меньше, чем плотность воды, поэтому, если их пролить в воду, они будут плавать на её поверхности. Это свойство очень помогает в ситуациях, когда в морях или океанах при транспортировке нефти она проливается в воду. Благодаря тому, что пролитая нефть не смешивается с водой и плавает на её поверхности, уже было предотвращено множество экологических катастроф, поскольку вода была быстро очищена от вредного для природы вещества.
В кулинарии свойство жира всплывать на поверхность воды помогает эффективно удалять его излишки из ёмкости с блюдом. В супе, охлаждённом в холодильнике, жир застывает, что позволяет очень легко удалить его с поверхности. Это свойство жира помогает уменьшить количество калорий и холестерина в еде.
Правило о плотности жидких веществ хорошо известно профессиональным барменам. При приготовлении многослойных коктейлей используются жидкости с разными плотностями. Для этого жидкость, обладающую меньшей плотностью, необходимо аккуратно налить на более плотную жидкость.
Иногда низкая плотность жира может, наоборот, мешать. Так, например, в процессе приготовления холодных десертов или фруктовых коктейлей жирные продукты очень трудно смешивать с водой, на поверхности которой может образоваться отдельный слой из жира, ухудшив при этом внешний вид и вкус блюда.

Видео о расчете массы и объема тела по плотности

Метод вытеснения жидкости

Как уже известно, для определения плотности тела необходимо знать две величины — объём и массу. Если масса легко определяется с помощью обычных весов, то как посчитать плотность тела, если неизвестен его объём, может показаться довольно сложной задачей.

Но для определения объёма тела также существует очень простой метод, изобретённый Архимедом:

Необходимо налить воду в мерный стакан и зафиксировать количество налитой воды.
Затем следует полностью погрузить в эту воду предмет, объём которого требуется определить.
Из количества воды, которая находилась в сосуде изначально, до погружения в неё тела, необходимо вычесть то количество воды, которое осталось после его погружения.

Конечно, такой метод нельзя использовать для вычисления объёма фотоаппарата или других предметов, которые испортятся от контакта с водой. Следует помнить, что данный метод не будет работать при погружении в воду тел, которые склонны её поглощать (например, плюшевый медвежонок).

В какой сфере жизни Вам пригодились знания о плотности тела? Расскажите об этом в комментариях.

www.rutvet.ru

8. Определение объема ствола срубленного дерева по простой стереометрической формуле (срединного сечения), ее точность.

Vств = g(1/2Н) * Н - простая формула срединного сечения (формула Губера)

Vств = g( 1/2Н) * L + Vверш

Vверш = g(ов) * (lверш/3)

Исследования показали, что применение простой формулы Губера для определения объема целых древесных стволов дает систематическую ошибку в пределах ±10-15%, а для сильносбежистых древесных стволов ±20-25% от истинного значения. Несмотря на свою простоту, эта формула не применяется для определения объема ствола дерева, но ее можно использовать для определения объема коротких сортиментов ствола.

б) формула концевых сечений

Vств = [(g0+gов) / 2] * L + Vверш

Ошибка +65%.

ОСТ 13-303-92 с 1 января 1992 года. Ошибка для сортиментов 10%.

Точность определения объемов стволов составляет ±7-10%.

Эта формула в теории лесной таксации называется формулой Гаусса-Симони.

Vств = (L / 6) * (g0 + 4g(1/2) + gов) - формула Рикке-Симпсона. Точность ±5-7%.

Простые формулы определения объемов стволов имеют существенный недостаток - низкую точность, так как не учитывают действительную форму древесного ствола, а предполагают, что форма любого древесного ствола - параболоид.

9. Определение объема ствола срубленного дерева по сложной стереометрической формуле (срединного сечения), ее точность.

Vств = V1 + V2 + . . . + Vn + Vверш

Vn = gn * ln

Vств = 1 * (g1 + g2 + g3 + ... + gn) + (gов) * (1верш/3) - сложная формула Губра (формула срединных сечений). Точность ±2-3%.

Vств = 1 * (((g0+gов) / 2) + g1 + g2 + gЗ + g(n-1)) + Vверш - сложная формула Смолеана

g0, g1, g2, g3, g(n-1) - площади сечений на концевых отрезках. Точность ±2-3%.

Выводы:

1) средний % ошибок по всем сложным формулам примерно одинаков и не превышает ±2%. При этом формула Смолеана завышает объем, а формула Губера - занижает.

2) Точность сложных формул зависит от длины отрезков. Чем они короче, тем меньше ошибка.

3) Из простых формул наиболее точные результаты дает формула срединных сечений. При этом ошибка зависит от древесной породы и формы стволов.

4) Простые формулы Смолеана и Рикке-Симпсона систематически завышают объем, поэтому наибольшее практическое значение имеют формулы срединных сечений. Физические способы определения объемов древесного ствола:

а) ксилометрический

б) весовой

При ксилометрическом способе используют ксилометр.

При весовом способе используют весы крановые и платформенные.

Vств = m / ро

11. Способы измерения высоты растущего дерева.

1) Мерная вилка. Техника измерения высоты с помощью мерной вилки: необходимо измерить базис от дерева до наблюдателя с помощью рулетки, обычно это 20 м. подвижную ножку на линейке отодвигают от неподвижной на расстояние, равное базису, но выраженное не в м, а в см, и закрепляют винтом. По внутренней грани неподвижной ножки визируют на вершину дерева. При этом нить с отвесом займет вертикальное положение и пересечет деление на подвижной ножке, которое соответствует высоте дерева от уровня глаз наблюдателя до вершины. В равнинной местности, чтобы получить высоту дерева, необходимо к полученному отсчету прибавить расстояние от поверхности земли до уровня глаз наблюдателя (1,5 м). в горной местности, если основание дерева расположено ниже глаз наблюдателя, то сначала визируют на вершину дерева, делают отсчет, затем на основание дерева делают отсчет, сумма этих отсчетов и будет высотой ствола. Если основание дерева находится выше наблюдателя, то высота дерева определяется по разности отсчетов на вершину дерева и на основание. Точность ±5-8%.

2) Маятниковый высотомер профессора Макарова. Высотомер представляет собой стальную пластину в виде сектора 8*10 см. с лицевой стороны сектора закреплен маятник (стрелка) и нанесены 2 шкалы высот: верхняя для базиса 10м, нижняя - 20 м. к пластине припаяна визирная трубка, глазной диоптр которой расширен в виде воронки. На обратной стороне сектора имеется фиксатор маятника в виде кнопки, при нажатии на кнопку маятник приходит в движение и принимает вертикальное положение. Для измерения высоты дерева поступают следующим образом: отмеряют от дерева базис 10 или 20 м, через глазной диоптр визирной трубки визируют на вершину дерева и одновременно нажимают на кнопку маятника. Когда маятник останавливается, а линия визирования совпадает с вершиной дерева, фиксируют маятник и производят отсчет по соответствующей шкале. Этот отсчет и есть высота дерева от уровня глаз наблюдателя до вершины. Для получения всей высоты к данному отсчету необходимо прибавить 1,5 м. точность ±5%. Чтобы повысить точность, необходимо определить среднюю высоту из 2-3 измерений.

3) Эклиметр. Данный прибор состоит из четырехгранной пустотелой трубки, на одном конце которой находится предметный диоптр (линия наведения) в виде металлической нити, на другом - глазной диоптр. К трубке присоединена цилиндрическая коробка, внутри которой находится вращающийся диск. На диске написаны градусные деления, по 60 градусов в обе стороны от нулевого деления. На цилиндрической коробке находиться кнопка, с помощью которой диск освобождается от пружины. К диску припаян свинцовый брус, под действием которого нулевой диаметр незакрепленного диска всегда занимает вертикальное положение. Для измерения высоты дерева откладывают базисное расстояние 10, 15 или 20 м, близкое к высоте дерева. Нажимая на кнопку, визируют по глазному или предметному диоптру на вершину дерева. В тот момент, когда линия визирования совпадет с вершиной дерева, отпускают кнопку и читают отсчет на диске в градусах.

H = b *tg альфа + hн , b - базис, hн = 1,5 м.

Для того, чтобы не пересчитывать углы в метры, используются таблицы. Точность ±6-8%.

4) Эклиметр-высотомер ЭВ-1. Точность ±0,5-0,8 м

5) Оптический высотомер Анучина. Точность ±3-5%

6) Оптический гипсометр РМ-5/1520. Точность ±1-2%

12. Видовое число.

Vств = g1,3 * h

Видовое число.

Для определения объема ствола растущего дерева кроме диаметра на высоте 1,3 м и высоты необходимо знать показатель - видовое число f(F).

Видовое число - отношение объема ствола к объему равновеликого цилиндра, высота которого равна высоте дерева, а площадь основания равна площади сечения дерева на высоте 1,3 м.

f = Vств / Vц

Vц = g1,3 * h

fc = Vств / (g1,3 * h) - старое

fн = Vств / (g0,1 * h) - новое видовое число

видовое число - коэффициент, который показывает, какую часть объема равновеликого цилиндра составляет объем дерева.

Vств = g1,3 * h * f

Исследованиями установлено: величина f изменяется в пределах 0,352-0,560. А для деревьев в возрасте хозяйственной спелости f изменяется в пределах 0,400-0,500.

Установлено: чем больше f, тем выше объем ствола и выше его полнодревесность.

У деревьев высотой 2,6 м видовое число равно 1.

f =Vств/Vц=(g(1/2) * h) /(g1,3*h)=(((пи*d(1/2)²)/4)*h)/(((пи*d(1,3)²)/4)*h)=d(1/2)/d1,3

с увеличением высоты дерева видовое число уменьшается.

studfiles.net