И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Гидростатика. Найдите глубину h погружения в воду плавающего в озере пустого внутри
Физика 9 класс, школьный (первый) этап, г. Москва, 2016 год
Задача 1
Автомобиль, движущийся по прямому шоссе со скоростью V0 = 72 км/ч, начиная обгон, разгоняется с постоянным ускорением. Найдите модуль скорости автомобиля через время t = 10 с разгона, если за последние две секунды движения он прошёл путь s = 58 м. Определите также модуль ускорения а автомобиля.
Возможное решение
Пусть τ = 2 с, тогда
Скорость автомобиля через время t=10 с разгона равна
V = V0 + a∙t =30 м/с.
Критерии оценивания
| Составлено кинематическое уравнение для перемещения s за время τ | 4 балла |
| Выражено ускорение | 2 балла |
| Найдено численное значение модуля ускорения | 1 балл |
| Записано выражение для мгновенной скорости автомобиля | 2 балла |
| Найдено численное значение модуля скорости автомобиля | 1 балл |
Задача 2
Найдите глубину h погружения в воду плавающего в озере пустого внутри понтона (герметично закрытого ящика), ширина, длина и высота которого равны 4 м, 10 м и 2 м, соответственно. Понтон сделан из стального листа, имеющего толщину 5 мм. Плотность стали ρстали = 7800 кг/м3, плотность воды ρводы = 1000 кг/м3.
Возможное решение
Площадь всей наружной поверхности понтона равна:
S = 2∙(4∙10 + 4∙2 + 2∙10) = 136 м2.
Масса понтона равна:
m = ρ∙S∙d = 5304 кг, где d – толщина стального листа.
Понтон должен вытеснить воду, имеющую такую же массу:
m = ρводы∙h∙ (40 м2).
Отсюда следует, что h = 13,26 см.
Критерии оценивания
| Определена площадь всей наружной поверхности понтона | 4 балла |
| Найдено численное значение площади | 2 балла |
| Записана формула для связи плотности, массы и объёма | 2 балла |
| Найдено численное значение глубины погружения понтона в воду | 2 балла |
Задача 3
Небольшой грузик, покоящийся на достаточно тяжёлой однородной доске, имеющей две опоры, перенесли справа налево (так, как показано на рисунке). При этом модуль силы реакции одной из опор увеличился на ∆N = 14 Н. Определите массу m грузика. Модуль ускорения свободного падения можно считать равным g = 10 м/с2.
Возможное решение
Очевидно, что при переносе грузика увеличилась сила реакции левой опоры.
Запишем правило моментов относительно правой опоры для начального и конечного состояния, соответственно:
2∙M∙g – 3∙N – m∙g = 0,
2∙M∙g + 4∙m∙g – 3∙N′ = 0.
где M – масса доски, N – модуль силы реакции левой опоры в начальном состоянии, N′ – модуль силы реакции левой опоры в конечном состоянии.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
Ответ: m =840 г.
Критерии оценивания
| Записано уравнение моментов до перенесения грузика | 3 балла |
| Записано уравнение моментов после перенесения грузика | 3 балла |
| Получена формула для массы грузика | 3 балла |
| Найдено численное значение массы грузика | 1 балл |
Задача 4
Теоретик Баг налил в большую чашку m0 = 250 г кофе при температуре t0 = 90 °C. Для того, чтобы остудить его до температуры, не превышающей t = 60 °C (чтобы кофе можно было пить, не обжигаясь), теоретик решил добавить в напиток несколько кубиков льда из морозильника. Какое наименьшее количество кубиков понадобится бросить в кофе, если масса одного кубика m1 = 2,5 г, а его начальная температура t1 = –15 °C? Потерями теплоты можно пренебречь. Удельная теплота плавления льда λ = 340 кДж/кг, удельная теплоёмкость льда cл = 2100 Дж/(кг·°С), плотность льда ρл = 900 кг/м3, удельная теплоёмкость воды (и кофе) c = 4200 Дж/(кг·°С). При решении задачи считайте, что в ходе экспериментов Бага содержимое чашки из неё не выливается.
Возможное решение
Запишем уравнение теплового баланса для процессов нагревания льда до температуры плавления, таяния льда, нагревания получившейся при таянии воды и, соответственно, охлаждения кофе:
Значит, Багу понадобится 21 кубик льда (поскольку в случае бросания 20 кубиков конечная температура напитка окажется больше, чем 60 °C).
Критерии оценивания
| Правильно определены процессы теплообмена | 1 балл |
| Составлено уравнение теплового баланса | 3 балла |
| Составлено выражение для количества кубиков | 4 балла |
| Получен численный ответ | 2 балла |
Задача 5
Участок цепи, схема которого приведена на рисунке, включает в себя резисторы с сопротивлениями R и 2R.
Рисунок 5.1
Амперметр А1 показывает силу тока l1 = 0,2 мА. Найдите показания l2 амперметра А2. Сопротивлением амперметров и соединительных проводов можно пренебречь.
Возможное решение
Рисунок 5.2
Эквивалентная схема участка цепи изображена на рисунке. Ток, протекающий через верхний резистор 2R, равен:
Значит, показания второго амперметра l2 = I′ + I1 =0.3 мА
Ответ: 0.3 мА
Критерии оценивания
| Корректно учтена идеальность амперметров | 2 балла |
| Нарисована правильная эквивалентная схема | 3 балла |
| Найдена связь между токами I′ и I1 | 2 балла |
| Применён закон сохранения заряда для узла цепи | 2 балла |
| Найдено численное значение тока через амперметр А2 | 1 балл |
Общие рекомендации по оцениванию работы
- За каждое верно выполненное действие баллы складываются.
- При арифметической ошибке (в том числе ошибке при переводе единиц измерения) оценка снижается на 1 балл.
- Максимум за 1 задание – 10 баллов.
- Всего за работу – 50 баллов.
olimpiadnye-zadanija.ru
И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Гидростатика
Транскрипт
1 И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Содержание Гидростатика 1 Всероссийская олимпиада школьников по физике Московская физическая олимпиада «Физтех» и МФТИ «Курчатов» «Покори Воробьёвы горы!» «Росатом» Всероссийская олимпиада школьников по физике Задача 1. (Всеросс., 2017, I этап, 9 ) Найдите глубину h погружения в воду плавающего в озере пустого внутри понтона (герметично закрытого ящика), ширина, длина и высота которого равны 4 м, 10 м и 2 м соответственно. Понтон сделан из стального листа, имеющего толщину 5 мм. Плотность стали ρ с = 7800 кг/м 3, плотность воды ρ в = 1000 кг/м 3. h 13,3 см Задача 2. (Всеросс., 2015, I этап, 9 11 ) Ледяной кубик с длиной ребра 10 см плавает в цилиндрическом аквариуме с водой так, что верхняя грань кубика горизонтальна. 1) Найдите высоту верхней грани кубика над уровнем воды. 2) Поверх воды доливают слой керосина так, что поверхность керосина оказывается на одном уровне с верхней гранью кубика. Какова высота слоя керосина? Плотности воды, льда и керосина равны соответственно 1000 кг/м 3, 900 кг/м 3 и 800 кг/м 3. 1) 1 см; 2) 5 см Задача 3. (Всеросс., 2014, I этап, 9 ) В сосуде, закреплённом в штативе, между двумя невесомыми поршнями находится вода (ρ = 1000 кг/м 3 ). На поршень 1 площадью S 1 = 110 см 2 действует сила F 1 = 1,76 кн, на поршень 2 площадью S 2 = 2200 см 2 действует сила F 2 = 3,3 кн. Поршни неподвижны, жидкость несжимаема, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2. Определите расстояние h между поршнями. h = 1 ρg ( F1 F 2 S1 S2 ) = 1 м Задача 4. (Всеросс., 2017, I этап, 11 ) В вертикальном цилиндрическом сосуде, частично заполненном тетрахлорметаном, имеющим плотность 1600 кг/м 3 и не смешивающимся с водой, плавает кусок льда массой 1 кг. Как и на сколько изменится высота уровня тетрахлорметана после того, как весь лёд растает? Площадь дна сосуда 200 см 2. Понизится на 3,125 см 1
2 Задача 5. (Всеросс., 2014, I этап, 11 ) Тело с герметичной полостью изготовлено из стеклопластика (ρ = 2,0 г/см 3 ). Если это тело подвесить на нити в воздухе, сила натяжения нити равна T 0 = 3,5 Н. Для удержания этого тела в воде (тело полностью погружено в воду и не касается дна сосуда) к нити прикладывают силу T 1 = 1,5 Н. Определите возможные значения отношения α объёма полости к полному объёму тела. α = 1 ρв ρ T0 = 0,125 или α = 1 ρв T0 T1 ρ T0 = 0,65 T0+T1 Задача 6. (Всеросс., 2016, II этап, 8 9 ) Деревянный цилиндр плавает в цилиндрическом сосуде с водой, как показано на рисунке слева, выступая на a = 60 мм над уровнем жидкости, который равен h 1 = 300 мм. На верхнюю поверхность цилиндра ставят алюминиевый кубик так, что цилиндр полностью погружается в воду (верхняя поверхность цилиндра совпадает с уровнем воды, рисунок справа). При этом уровень воды в сосуде становится равным h 2 = 312 мм. Затем сосуд слегка толкнули, кубик съехал с поверхности цилиндра и утонул. Найдите уровень воды h 3, который установился после этого в сосуде. Плотность воды ρ 0 = 1,0 г/см 3, плотность алюминия ρ 1 = 2,7 г/см 3. h4 304,4 мм Задача 7. (Всеросс., 2015, II этап, 8 10 ) В воде плавает пустая плоская прямоугольная коробка (без крышки) с площадью поперечного сечения 100 см 2. После того как в середину коробки положили брусок объёмом 75 см 3, она погрузилась ещё на 3 см. Определите плотность бруска. Какую плотность должен иметь брусок объёмом 150 см 3, чтобы коробка с одним таким бруском утонула? Масса коробки 100 г, а её высота 13 см. Плотность воды 1000 кг/м 3. 4 г/см 3 ; не менее 8 г/см 3 Задача 8. (Всеросс., 2012, регион, 9 ) В цилиндрическом сосуде с площадью дна S с помощью нити удерживают под водой кусок льда, внутри которого имеется воздушная полость (см. рисунок). Объём льда вместе с полостью равен V, плотность льда ρ л. После того как лёд растаял, уровень воды в сосуде уменьшился на h. Найдите: 1) объём V п воздушной полости; 2) силу T натяжения нити в начале опыта. Примечание. Плотность воды ρ в и ускорение свободного падения g считайте известными. Vп = V ρв ρл (V Sh), T = ρвgsh 2
3 Задача 9. (Всеросс., 2013, регион, 9 ) В цилиндрическом сосуде, внутренний диаметр которого D = 10 см, плавает в вертикальном положении узкий длинный тонкостенный цилиндрический стакан диаметром d = 8 см. В стакан через распылитель наливают воду (см. рисунок). Её массовый расход µ = 14 г/с. Какова скорость v стакана относительно дна цилиндра? Плотность воды ρ = 1000 кг/м 3. v = 4µ πρ ( ) 1 d 2 1 D 2 = 1 мм/с Задача 10. (Всеросс., 2011, регион, 9 ) Для стирки белья в квадратном душевом поддоне с размером стороны a = 80 см и высотой бортика h = 20 см хозяйка использует находящийся в поддоне частично заполненный водой и бельём квадратный тазик с размером стороны a/2, высотой бортика h и общей массой m = 2,4 кг. Для полоскания белья хозяйка использует находящийся в том же поддоне круглый цилиндрический тазик, полностью заполненный водой. Радиус дна тазика R = a/4 и высота его бортика h (см. рисунок). Каким будет уровень H воды в поддоне, если вылить в него всю воду из круглого тазика? После выливания воды круглый тазик убирают из поддона. Сливное отверстие поддона закрыто пробкой. Примечание. Плотность воды ρ = 1000 кг/м 3. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr 2, где π 3,14. H = πh 16 + m ρa 2 = 4,3 см Задача 11. (Всеросс., 2011, регион, 10 ) Для стирки белья в квадратном душевом поддоне с размером стороны a = 80 см и высотой бортика h = 20 см хозяйка использует находящийся в поддоне частично заполненный водой и бельём квадратный тазик с размером стороны a/2, высотой бортика h и общей массой m = 16 кг (см. рисунок). Для полоскания белья хозяйка использует находящийся в том же поддоне круглый цилиндрический тазик с радиусом дна R и высотой бортика h. Чему равен максимально возможный радиус R M круглого тазика, полностью заполненного водой, если при выливании воды из него в поддон квадратный тазик не всплывёт? После выливания воды круглый тазик убирают из поддона. Сливное отверстие поддона закрыто пробкой. Плотность воды ρ = 1000 кг/м 3. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr 2, где π 3,14. RM = min { 3m πρh, a } = 23,4 см 3
4 Задача 12. (Всеросс., 2012, регион, 10 ) В частично заполненный водой цилиндрический сосуд, площадь дна которого равна S, положили кусок льда с воздушной полостью, в которой находился алюминиевый шарик массой, равной массе льда. При этом уровень воды поднялся на h, а полностью погружённый в воду лёд плавает, не касаясь дна и стенок сосуда. 1. Найдите объём V п воздушной полости. 2. Повысится или понизится уровень воды в сосуде после того, как весь лёд растает? 3. На сколько изменится уровень воды в сосуде после того, как лёд растает? Плотность воды ρ в, плотность льда ρ л, плотность алюминия ρ ш, ускорение свободного падения g. Vп = Sh ( 1 ρв 2ρл ) ; уровень понизится на x = h 2 ( 1 ρв ρш ) Задача 13. (Всеросс., 2012, регион, 11 ) Пустая стеклянная бутылка плавает в цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда S = 250 см 2. Из чайника в бутылку медленно наливают воду, и, когда масса воды достигает m = 300 г, бутылка начинает тонуть. Оказалось, что, когда весь воздух из бутылки вышел, уровень воды в сосуде изменился на h = 0,60 см по сравнению с тем моментом, когда в бутылку начали наливать воду. Вычислите вместимость бутылки V. Плотность воды ρ = 1,0 г/см 3. V = 2m ρ ± S h; V 1 = 750 мл, V2 = 450 мл Задача 14. (Всеросс., 2011, регион, 11 ) Тонкий стержень постоянного сечения состоит из двух частей. Первая из них имеет длину l 1 = 10 см и плотность ρ 1 = 1,5 г/см 3, вторая плотность ρ 2 = 0,5 г/см 3 (см. рисунок). При какой длине l 2 второй части стержня он будет плавать в воде (плотность ρ 0 = 1 г/см 3 ) в вертикальном положении? 10 см < l2 < 30 см 4
5 2 Московская физическая олимпиада Задача 15. (МФО, 2016, 8 9 ) Алюминиевый шарик с герметичной внутренней полостью аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный водой. При этом объём вытесненной жидкости был равен 18 мл. Затем этот же шарик аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный керосином. В этом случае объём вытесненной жидкости равнялся 20 мл. Найдите массу шарика, его объём и объём полости. Плотность алюминия ρ 0 = 2,7 г/см 3, воды ρ 1 = 1,0 г/см 3, керосина ρ 2 = 0,8 г/см 3. Шарик не касался стенок цилиндра, уровень жидкости в цилиндре всегда был в несколько раз больше диаметра шарика. 18 г; 20 см 3 ; 13,3 см 3 Задача 16. (МФО, 2016, 9 ) Какой максимальный объём масла плотностью 0,8ρ можно налить в L образную трубку с открытыми концами, частично заполненную водой плотностью ρ? Площадь сечения вертикальных колен трубки S. Объёмом горизонтальной соединительной трубочки можно пренебречь. Размеры L-образной трубки и высота столба воды указаны на рисунке. Пунктирные метки сделаны на одинаковых расстояниях h друг от друга. Затыкать открытые концы, наклонять трубку и выливать из неё воду нельзя. Vmax = 13Sh/2 Задача 17. (МФО, 2016, 10 ) Какой максимальный объём воды плотностью ρ можно налить в h-образную трубку с открытыми концами, частично заполненную маслом плотностью 0,8ρ? Площадь сечения вертикальных колен трубки S. Объёмом горизонтальной соединительной трубочки можно пренебречь. Размеры h-образной трубки и высота столба воды указаны на рисунке. Пунктирные деления на трубке сделаны через одинаковое расстояние h, которое известно. Затыкать открытые концы, наклонять трубку и выливать из неё жидкости нельзя. Vmax = 17Sh/4 5
6 Задача 18. (МФО, 2014, 8 9 ) В сосуде площадью поперечного сечения 2 дм 2 плавает шайба площадью 0,85 дм 2 и высотой 5 см. Шайба выступает из воды на 0,3 см, а расстояние между нижней гранью шайбы и дном сосуда составляет 12 см. Когда в сосуд дополнительно налили масло, верхняя грань шайбы оказалась в точности на уровне масла, а толщина слоя масла составила 4 см. Плотность воды 1000 кг/м 3. A) Найдите объём воды в сосуде. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры. B) Найдите массу шайбы. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры. C) Найдите расстояние от нижней грани шайбы до дна сосуда после доливания масла. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до третьей значащей цифры. D) Найдите объём масла, долитого в сосуд. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры. E) Найдите отношение плотности масла к плотности воды. Ответ округлите до второй значащей цифры. A) 2,9; B) 400; C) 14,1; D) 0,46; E) 0,93 Задача 19. (МФО, 2014, 8 10 ) В цилиндрическом стакане, наполненном водой (плотность воды 1,00 г/см 3 ), плавает кусочек пробки массой 18 г (плотность пробки 0,24 г/см 3 ). Площадь поперечного сечения стакана 40 см 2. A) Найдите объём пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых. B) Найдите объём подводной части пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых. C) Груз какой максимальной массы можно положить на пробку, чтобы пробка ещё могла оставаться на плаву? Ответ выразите в граммах и округлите до целых. D) На пробку сверху положили гайку массой 20 г. Пробка осталась на плаву, причем гайка не коснулась воды. На сколько миллиметров поднялся уровень воды в стакане? Ответ округлите до десятых. A) 75; B) 18; C) 57; D) 5 Задача 20. (МФО, 2012, 9 ) Когда на льдину поставили груз массой M = 90 кг, объём её надводной части уменьшился на 30%. Потом на льдину вышел школьник Антон, и объём надводной части уменьшился ещё на 30%. Найдите массу Антона и массу льдины. Отношение плотностей льда и воды ρ л : ρ в = 0,9. mантона = 0,7M = 63 кг, mльдины = 30M = 2700 кг 6
7 Задача 21. (МФО, 2013, 9 ) У школьника Вовы есть три кубика разных размеров. Длина ребра первого кубика равна l = 10 см, второго 2l = 20 см, а третьего 3l = 30 см. Вова поставил кубики один на другой так, как показано на рисунке сверху, погрузил в воду и отпустил. При установившемся равновесии самый большой кубик полностью погрузился в воду, а два других находились над водой. Кубики однородны и сделаны из одного и того же материала. (а) Определите плотность этого материала, если известно, что плотность воды равна ρ 0 = 1000 кг/м 3. (б) Вова хочет погрузить в воду два кубика (маленький и средний), рисунок снизу. Определите, где будет находиться граница раздела кубиков: над водой, под водой или точно на уровне воды. Если над водой или под водой, то вычислите, на каком расстоянии от поверхности воды окажется граница раздела кубиков. (а) ρ = 3 4 ρ 0 = 750 кг/м 3 ; (б) над водой на расстоянии 5 16 l 3,1 см Задача 22. (МФО, 2015, 9 ) На горизонтальном глинистом дне водоёма стоит кубик с длиной ребра a и плотностью ρ. Высота уровня воды над верхней гранью кубика равна H. В начальный момент времени воды под кубиком нет. Вода начинает очень медленно подтекать под кубик. Чему будет равна площадь S части нижней грани, которая останется сухой к моменту, когда кубик начнет всплывать? Плотность воды равна ρ 0, кубик легче воды. S = (ρ 0 ρ)a 3 ρ0(a+h) Задача 23. (МФО, 2011, 9 ) В цилиндрическом сосуде высотой h = 20 см находится смесь воды и мелких кусочков льда (см. рисунок). На поверхности плавает круглая стальная крышка толщиной d = 2 мм, нижний край которой находится точно на поверхности воды. Найдите среднюю плотность смеси воды и льда. Плотность воды ρ в = 1000 кг/м 3, плотность льда ρ л = 1000 кг/м 3, плотность стали ρ с = 7800 кг/м 3. Трением льда о стенки сосуда пренебречь. ρ = ρв ρс d h = 922 кг/м3 Задача 24. (МФО, 2015, 8 10 ) Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м 3, эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза. 1 и 1500 кг/м 3 7
8 Задача 25. (МФО, 2015, 9 ) Длинный однородный брусок с поперечным сечением в виде прямоугольника со сторонами a b подвешен на двух вертикальных нитях, прикреплённых к одному из рёбер, над сосудом, в который наливают воду. Когда в сосуд налили некоторое количество воды, два ребра бруска оказались точно на поверхности воды (вид сбоку со стороны вышеупомянутого поперечного сечения показан на рисунке). Найдите плотность материала, из которого сделан брусок. Плотность воды равна ρ = 1 г/см 3. Примечание: центр масс однородного треугольника расположен на пересечении его медиан. ρx = 2 3 ρ 670 кг/м3 Задача 26. (МФО, 2014, 9 ) В сосуде с водой плавает куб массой m = 2048 г, он прикреплён ко дну пружиной, другой конец которой прицеплен к центру нижней грани куба. Вначале пружина находится в недеформированном состоянии, а ровно половина куба выступает над водой, причём четыре его ребра вертикальны. Прошел дождь, и уровень воды в сосуде вырос на h = 20,48 см, а вода оказалась как раз на уровне верхней поверхности куба. Определите удлинение l пружины и силу упругости F упр, с которой пружина воздействует на куб. Считайте, что плотность воды ρ = 1 г/см 3, а ускорение свободного падения g = 10 м/с 2. l = 12,48 см, Fупр = 20,48 Н Задача 27. (МФО, 2011, 9 ) После завершения строительства пирамиды Хеопса все её ребра, согласно легенде, имели одинаковую длину A 230 м. В основании пирамиды квадрат со стороной A. По преданиям, во время «Великого потопа» уровень воды совпал с вершиной пирамиды. С какой силой давила вода на северную боковую грань пирамиды? Плотность воды ρ = 1000 кг/м 3, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2. Замечание. Объём пирамиды вычисляется по формуле V = 1 Sh, где S площадь основания 3 пирамиды, h высота пирамиды (длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на её основание). F = ρga3 2 2, Н Задача 28. (МФО, 2015, ) Школьница Алиса проводит опыты с пружиной. Она подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см 2. Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Жёсткость пружины 100 Н/м, её длина в нерастянутом состоянии составляет 10 см. Ускорение свободного падения 10 м/с 2. Постройте график зависимости длины пружины l от объёма воды V, налитой в сосуд. При каких значениях объема V груз находился в воздухе? был частично погружен в воду? был полностью погружён в воду? См. конец листка 8
9 Задача 29. (МФО, 2011, 10 ) В интернете сейчас можно легко найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого. Группа студентов напускает в большое корыто до краёв какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладёт на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает, как настоящий «летучий голландец»! Потом студенты зачёрпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет. Найдите, какой минимальной молярной массой µ должен обладать этот тяжёлый газ, чтобы в нём мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной h = 25 мкм. Размеры «корабля»: длина a = 50 см, ширина b = 20 см, высота бортов c = 10 см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия ρ Al = 2,7 г/см 3, плотность воздуха при данных условиях равна ρ в = 1,3 кг/м 3, средняя молярная масса воздуха µ в = 29 г/моль. µ µв ( 1 + (ab+2ac+2bc)hρ Al abcρв ) 65 г/моль Задача 30. (МФО, 2015, 11 ) Школьница Ирина проводит опыты с сосудами с наклонным дном. На дне первого сосуда кубик, на дне второго сосуда полусфера. Уровень воды в каждом сосуде точно совпадает с положением наивысшей точки кубика или полусферы. Оказалось, что сила давления, действующая со стороны воды как на кубик, так и на полусферу (без учёта атмосферного давления), направлена горизонтально. Под каким углом к горизонту наклонено дно первого сосуда? Второго сосуда? Вода под кубик и полусферу не подтекает. arctg 1 2 ; arccos 2 3 Задача 31. (МФО, 2016, 11 ) Посередине длинной доски массой M = 4 кг сидит ворона. Доска при этом на три четверти погружена в воду. После того как ворона пересела на один из её концов, верхний край доски с этого конца опустился как раз до уровня воды (нижний край доски по-прежнему полностью погружен в воду). Найдите массу вороны. Чему равна сила Архимеда, действующая на доску, после того как ворона пересела на один из её концов? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с 2. m = M/8 = 0,5 кг; FA = Mg 44 Н 9
10 3 «Физтех» и МФТИ Задача 32. (МФТИ, 1994 ) U-образная вертикально расположенная трубка частично заполнена жидкостью, так что расстояния от открытых концов трубки до уровня жидкости в коленах трубки равны h. Какой максимальный по толщине слой более лёгкой жидкости можно налить в одно из колен трубки, чтобы жидкость из трубки не выливалась? Отношение величин плотностей жидкостей равно k (k > 1). Жидкости не смешиваются. H = 2k 2k 1 h Задача 33. (МФТИ, 1994 ) В одно из колен U-образной вертикально расположенной трубки, частично заполненной жидкостью, долили слой более лёгкой жидкости. Возникшая при этом разность уровней жидкостей в коленах составила h = 4 см. Когда толщину слоя лёгкой жидкости увеличили ещё на h 1 = 3 см, уровень тяжёлой жидкости переместился на h 2 = 1 см. Найдите толщину слоя более лёгкой жидкости, первоначально налитой в трубку. Жидкости в трубке не смешиваются. h2 = h h2 h2 2 h3 = 12 см Задача 34. («Физтех», 2010 ) Однородный тонкий цилиндр висит на нити. При этом 40% длины цилиндра находится в воде. Когда цилиндр переместили вниз, то в воде оказалось 60% его длины и сила натяжения нити уменьшилась на 25% (см. рисунок). Найдите плотность материала цилиндра. Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. ρ = 1,2ρ0 = 1,2 г/см 3 Задача 35. («Физтех», 2010 ) Однородную деревянную палочку в форме цилиндра постоянного поперечного сечения удерживают притопленной в воде с помощью нити. Палочка погружена в воду на 90% своей длины. Если палочку удерживать за нить, погрузив в воду 80% её длины, то палочка остаётся в вертикальном положении и сила натяжения нити уменьшается на 1/3. Найдите плотность дерева. Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. ρ = 3 5 ρ 0 = 0,6 г/см 3 Задача 36. («Физтех», 2010 ) На плоту из брёвен могут находиться несколько человек равной массы, не касаясь воды. Если на плоту находится четыре человека, то над водой остаётся 10% объёма брёвен. Когда на плоту находится три человека, то над водой остаётся 20% объёма брёвен. Найдите плотность брёвен. Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. ρ = 0,5ρ0 = 0,5 г/см 3 Задача 37. («Физтех», 2007 ) Два груза висят на нитях в воздухе (см. рисунок). Сила натяжения верхней нити в два раза больше силы натяжения нижней нити. Когда оба груза полностью погрузили в воду, оказалось, что их взаимное расположение не изменилось; при этом сила натяжения верхней нити уменьшилась на 20%, а нижней на 30%. Найдите плотности нижнего и верхнего грузов. Плотность воды ρ = 1 г/см 3. ρ1 = 10 3 ρ = 3,3 г/см3, ρ2 = 10ρ = 10 г/см 3 10
11 Задача 38. («Физтех», 2009 ) Пустая стеклянная бутылка плавает в воде, погрузившись на 3/4 своего объёма. Какой минимальный объём воды нужно долить в бутылку, чтобы она утонула? Плотность стекла ρ с = 2,5 г/см 3, воды ρ = 1 г/см 3, вместимость бутылки 0,7 литра. Vx = ρс 4ρс 3ρ V = 250 мл Задача 39. («Физтех», 2009 ) Пустая стеклянная бутылка плавает в воде, погрузившись на 2/3 своего объёма. Найти отношение объёма воздуха в бутылке к объёму стекла. Плотность стекла в 2,5 раза больше плотности воды. x = 3ρс 1 = 11 2ρв 4 Задача 40. (МФТИ, 2005 ) Кусок льда привязан нитью ко дну цилилиндрического сосуда с водой (см. рисунок). Над поверхностью воды находится некоторый объём льда. Нить натянута с силой T = 1 Н. На сколько и как изменится уровень воды в сосуде, если лёд растает? Площадь дна сосуда S = 400 см 2, плотность воды ρ = 1 г/см 3. h = T ρgs = 2,5 мм Задача 41. (МФТИ, 2005 ) На нити, привязанной к стойке, висит кусок льда, частично погружённый в воду, налитую в цилиндрический сосуд (см. рисунок). Найти силу натяжения нити, если после того, как лёд растаял, уровень воды в сосуде изменился на h = 3 см. Площадь дна сосуда S = 60 см 2, плотность воды ρ = 1 г/см 3. T = 1,8 Н Задача 42. (МФТИ, 2005 ) Деревянный шарик привязан ко дну цилиндрического сосуда с водой (см. рисунок). Над поверхностью воды находится часть шарика, а нить натянута с некоторой силой. Если нить перерезать, то шарик всплывёт, и уровень воды в сосуде изменится на h = 4 см. С какой силой была натянута нить? Площадь дна сосуда S = 100 см 2. Плотность воды ρ = 1 г/см 3. T = 4 Н Задача 43. (МФТИ, 2005 ) На нити, привязанной к стойке, висит деревянный шарик, частично погружённый в воду, налитую в цилиндрический сосуд (см. рисунок). Нить натянута с силой T = 3 Н. Если нить перерезать, то шарик станет плавать в сосуде. На сколько и как при этом изменится уровень воды в сосуде? Площадь дна сосуда S = 300 см 2. Плотность воды ρ = 1 г/см 3. h = 1 см, повысится 11
12 Задача 44. (МФТИ, 2004 ) В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски, так что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на h = 1 см. Затем на доску сверху положили пластину из льда. В результате доска погрузилась в воду полностью, а пластина из льда на α = 7/10 своего объёма. На сколько изменится объём воды в ведре, когда лёд полностью растает? Плотность воды ρ в = 1 г/см 3, льда ρ л = 0,9 г/см 3, дерева ρ = 0,6 г/см 3. Площадь внутреннего сечения ведра S = 300 см 2. V = ρл(ρв ρ) ρ(ρл αρв) S h = 900 см3 Задача 45. (МФТИ, 2004 ) Обрезок доски из дерева опустили в цилиндрическое ведро с водой так, что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на h = 0,5 см. Затем на доску положили алюминиевую пластинку объёмом V = 30 см 3. Доска вместе с пластинкой осталась на плаву. При этом доска погрузилась в воду полностью, а пластинка на α = 7/10 своего объёма. Найти плотность дерева. Плотность алюминия ρ = 2,7 г/см 3, плотность воды ρ в = 1 г/см 3, площадь внутреннего сечения ведра S = 280 см 2. ρд = ( ρвs h ) ρ ρв α V +S h = 0,7 г/см3 Задача 46. (МФТИ, 1996 ) В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны) плавает деревянная дощечка. Если на неё сверху положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву и уровень воды в сосуде увеличится на h. На сколько изменится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку бросить на дно сосуда? Плотность стекла ρ с, плотность воды ρ в. x = ρв h ρс Задача 47. (МФТИ, 1996 ) В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на h 1 = 11 мм, а лёд стал плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла ρ с = 2 г/см 3, воды ρ в = 1 г/см 3, льда ρ = 0,9 г/см 3. h3 = ρв ρ ρс ρ ρc ρв ρв h2 = 1 мм Задача 48. (МФТИ, 1997 ) В лунку размером см, целиком заполненную водой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В результате часть воды из лунки выливается, а тело начинает плавать в ней (см. рисунок). После этого из лунки отлили ещё m = 250 г воды, так что цилиндр стал плавать, касаясь дна лунки. 1) Какая масса воды M осталась в лунке? 2) Чему равна плотность ρ материала цилиндра? Диаметр цилиндра d мемного меньше 10 см, высота цилиндра равна его диаметру. Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. 1) M = ( 1 pi 4 ) (ρ0d 3 m) = 160 г; 2) ρ = ρ0 m d 3 = 0,75 г/см 3 12
13 Задача 49. (МФТИ, 1997 ) В лунке размером см, полностью заполненной водой, лежит шарик (см. рисунок), плотность материала которого ρ = 2 г/см 3. Диаметр шарика d немного меньше 10 см. Какую минимальную по величине работу A надо совершить, чтобы вытащить шарик из воды? Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. A = π 6 ( 1 π 6 ) ( ρ ρ0 2 ) gd 4 0,37 Дж Задача 50. (МФТИ, 1997 ) На дне лунки размером см лежит шар, диаметр которого d немного меньше 10 см. В лунку наливают воду до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку пришлось долить ещё m = 250 г воды, чтобы она оказалась заполненной водой до верха (см. рисунок). 1) Какую массу воды M налили в лунку вначале? 2) Чему равна плотность материала шара? Плотность воды ρ 0 = 1 г/см 3. Указание. Объём шарового сегмента высотой h равен V = 1 3 πh3 ( 3 2 d h), где d диаметр шара. 1) M = ρ0d 3 ( 1 9π 64 ) ( m = 160 г; 2) ρ = ρ0 [1 2 m d 3 ρ0 )2 ( ) ] 3 2 d m ρ0d 2 = ρ 0 = 0,83 г/см 3 Задача 51. (МФТИ, 2000 ) В цилиндрическом стакане с водой на нити висит проволока, вмороженная в кусок льда. Лёд с проволокой целиком погружён в воду и не касается стенок и дна стакана (см. рисунок). После того как лёд растаял, проволока осталась висеть на нити, целиком погружённая в воду. Уровень воды в стакане за время таяния льда уменьшился на H ( H > 0), а сила натяжения нити увеличилась в k раз. Найти объём проволоки. Плотность воды ρ 0, проволоки ρ, площадь внутреннего сечения стакана S. V = k k 1 ρ0 S H ρ ρ0 Задача 52. (МФТИ, 2000 ) Гайка, вмороженная в кусок льда, висит на нити. После того как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой, в которую целиком погрузили лёд с гайкой, сила натяжения нити уменьшилась на T ( T > 0), а уровень воды в стакане повысился. Лёд с гайкой при этом висит на нити в воде и не касается стенок и дна стакана. После того как лёд растаял, гайка осталась висеть на нити, целиком погружённая в воду, а уровень воды в стакане за время таяния льда понизился на H ( H > 0). Чему равен объём гайки? Плотность воды ρ в, льда ρ л, площадь внутреннего сечения стакана S, ускорение свободного падения g. V = T ρвg ρв S H ρв ρл 13
14 Задача 53. (МФТИ, 2000 ) Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда, удерживается внутри цилиндрического стакана с водой нитью, прикреплённой ко дну (см. рисунок). Лёд с шариком целиком погружён в воду и не касается стенок и дна стакана. После того как лёд растаял, шарик остался плавать внутри стакана, целиком погружённый в воду. Сила натяжения нити за время таяния льда уменьшилась при этом в k раз (k > 1), а уровень воды в стакане уменьшился на H ( H > 0). Чему равен объём шарика? Плотность воды ρ 0, дерева ρ (ρ < ρ 0 ), площадь внутреннего сечения стакана S. V = ρ0 (k 1)(ρ0 ρ) S H Задача 54. (МФТИ, 2002 ) На чашке пружинных весов уравновесили сосуд, в котором находится вода массой m в. Для приготовления солёного раствора была использована крупная соль, содержащая нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом мешочке была опущена на нити в сосуд, так что мешочек оказался полностью погружённым в воду (см. рисунок). После того как соль полностью растворилась в воде, показания весов изменились на P ( P > 0) по сравнению с их показаниями до опускания соли в воду. Плотность солёного раствора была измерена и оказалась равной ρ. Найти объём примесей V п, оставшихся в мешочке после растворения соли, если он остался висеть на нити целиком погружённым в раствор. Плотность чистой соли равна ρ с, плотность воды ρ в, ускорение свободного падения равно g. Указание. Считать раствор однородным с плотностью ρ = (m с +m в )/(V с +V в ), где m с и m в массы соли и воды соответственно, а V с и V в их объёмы. Vп = P ρg mв ρ ρс(ρ ρв) ρв(ρс ρ) 14
15 4 «Курчатов» Задача 55. («Курчатов», 2015, 9, 11 ) Полая прямая призма, сделанная из тонкого прочного листового материала, имеет высоту L, а её основания представляют собой равнобедренные треугольники с углом 2α между боковыми сторонами. У призмы аккуратно удалили боковую грань, лежащую напротив угла 2α, и поставили призму на гладкий стол так, что упомянутый угол оказался сверху (основание призмы лежит в плоскости рисунка, её высота перпендикулярна плоскости рисунка). Вблизи оказавшегося сверху угла проделали маленькое отверстие, и начали медленно заливать через него внутрь призмы воду плотностью ρ. В момент, когда уровень воды в призме достиг высоты h, вода начала вытекать из-под призмы. Найдите массу m призмы с удалённой гранью, считая, что давление p 0 воздуха над водой в призме и снаружи одинаково и равно атмосферному. m = ρlh 2 tg α 15
16 5 «Покори Воробьёвы горы!» Задача 56. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, ) В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с плотностями ρ 1 = 800 кг/м 3 и ρ 2 = 2000 кг/м 3. В сосуд опускают тело плотностью ρ = 1200 кг/м 3. При этом жидкости из сосуда не выливаются. Определите, какая часть объёма тела будет находиться в нижней жидкости. V2 V = ρ ρ 1 = 1 ρ2 ρ1 3 16
17 6 «Росатом» Задача 57. («Росатом», 2012, 11 ) Плавая в одной жидкости, кубическое тело погружается на глубину h 1, а в другой на глубину h 2. Какова будет глубина погружения тела в жидкость, плотность которой равна среднему арифметическому плотностей первой и второй жидкости? h = 2h 1h3 h2+h3 Задача 58. («Росатом», 2011, 11 ) В сосуде с жидкостью плавает кубик, погрузившись в жидкость на 2/3 своего объёма. Чтобы погрузить кубик в жидкость на 5/6 объёма, к нему нужно приложить минимальную вертикальную силу F 1. Какую минимальную вертикальную силу F 2 нужно приложить к кубику, чтобы полностью погрузить его в жидкость? F2 = 2F1 Задача 59. («Росатом», 2011, 11 ) К поплавку массой m привязана леска с грузом. При этом поплавок погружен в воду на 2/3 своего объёма. Найти силу натяжения лески, если свободно плавающий поплавок погружён в воду на половину своего объёма. T = 1 3 mg Задача 60. («Росатом», 2013, 9 10 ) Два сообщающихся сосуда имеют форму цилиндров с площадью сечений S и 4S. В сосуды налита жидкость, поверхности которой закрыты невесомыми поршнями (см. рисунок). Если некоторый груз положить на поршень в левом сосуде, то этот поршень опустится на величину h. На какую величину по сравнению с первоначальным положением (пока груза на поршнях не было) опустится правый поршень, если груз снять с левого поршня и переложить на правый? h 16 Задача 61. («Росатом», 2013, 11 ) В цилиндрический сосуд наливают одинаковые объёмы несмешивающихся жидкостей с плотностями ρ и 0,3ρ. Тело, объём которого в три раза меньше объёма каждой жидкости и которое тонет в обеих жидкостях, опускают в сосуд на длинной нити. Найти отношение давлений p 1 /p 2 жидкости около дна сосуда в положениях, когда тело полностью погружено либо в нижнюю (p 1 ), либо в верхнюю (p 2 ) жидкость. 7 6 Задача 62. («Росатом», 2013, 11 ) К сосуду с жидкостью суммарной массой m прикреплена невесомая и нерастяжимая нить, перекинутая через блок. Ко второму концу нити прикреплено тело с массой 1,2m, в положении равновесия частично погружённое в жидкость. На какую часть своего объёма тело погружено в жидкость? Плотность тела втрое больше плотности жидкости. 1/4 17
18 Задача 63. («Росатом», 2013, 11 ) В дне сосуда сделано круглое отверстие, которое заткнуто пробкой в виде шара. Радиус шара вдвое больше радиуса отверстия. В сосуд аккуратно наливают воду. При какой максимальной плотности пробка всплывет? Плотность воды ρ известна. Указание. Объём шарового сегмента определяется формулой V = π (2R 3 ( 2R 2 + r 2) ) R 3 2 r 2, где R радиус шара, r радиус круга, который является основанием сегмента. ρmax = ρ 18
19 Ответ к задаче 28 График состоит из горизонтальной линии l = 20 см при V < 30 л (груз в воздухе), наклонного участка, соединяющего точки (20 см; 30 л) и (10 см; 49 л) (груз при V от 30 л до 49 л частично погружён в воду), горизонтальной линии l = 10 см при V > 49 л (груз полностью в воде). 19
docplayer.ru
Гидростатика
1
В полый куб с ребром a налита доверху жидкость плотностью ρ. Определить силы, действующие на грани куба.
Ответ
На дно действует сила ρga3, на боковую грань 1/2ρga3.
2
Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с приставным дном, опущен в воду. Если в сосуд налить 200 г воды, то дно оторвется. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 200 г? налить 200 г масла? налить 200 г ртути?
Ответ
Если сосуд сужается кверху, то гиря и ртуть не оторвут дно, а масло оторвет. Если сосуд сужается книзу, то наоборот.
3
В сосуд с водой вставлена трубка сечением S = 2 см2. В трубку налили 72 г масла (ρм = 900 кг/м3). Найти разность уровней масла и воды.
Ответ и решение
Ответ: Δh = 4 см.
Согласно условию равновесия неоднородных жидкостей в сообщающихся сосудах:
.
Или:
.
Откуда
.(1)
Чтобы найти H, запишем выражение для массы масла в трубке:
,
откуда
.(2)
Окончательно, подставив (2) в (1), получим:
.
4
При подъеме груза массой m = 2 т с помощью гидравлического пресса была затрачена работа A = 40 Дж. При этом малый поршень сделал n = 10 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого, если к. п. д. пресса равен 1.
Ответ
5
В сообщающиеся сосуды диаметрами D1, и D2 налита вода. На сколько изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массой m в первый сосуд? во второй? Плотность воды ρ0.
Ответ
В обоих случаях уровень воды увеличивается на
.
6
В колена U-образной трубки налиты вода и спирт, разделенные ртутью. Уровень ртути в обоих коленах одинаков. На высоте 24 см от уровня ртути колена соединены горизонтальной трубкой с краном.
Вначале кран закрыт. Определить высоту столба спирта h3 (ρс = 800 кг/м3), если высота столба воды h2 = 32 см. Что будет, если открыть кран? При каком расположении трубки при открывании крана будет сохраняться равновесие?
Ответ
7
Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и высотой H = 0,4 м плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?
Ответ
≈ 7,84 Дж.
8
В стакане плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды, когда лед растает? Рассмотреть дополнительно случаи: 1) когда во льду находился пузырек воздуха; 2) когда во льду находилась свинцовая пластинка.
Ответ
Лед вытесняет воду, вес которой равен весу льда. Когда лед растает, образуется такое же количество воды, поэтому уровень не изменится.
1) Тоже не изменится, т. к. массой воздуха можно пренебречь.
2) Понизится, т. к. объем воды, которая образуется, когда лед растает, вместе с объемом свинца будет меньше, чем в случае куска чистого льда того же веса.
9
Одна из бутылок наполнена водой, другая — ртутью. Потонет ли бутылка с водой, если ее опустить в воду? Потонет ли бутылка с ртутью, если ее опустить в ртуть?
Ответ
Бутылка с водой потонет, а с ртутью — нет.
10
Прямоугольная коробочка из жести массой m = 76 г с площадью дна S = 38 см2 и высотой H = 6 см плавает в воде. Определить высоту h надводной части коробочки.
Ответ
11
Кастрюля емкостью 2 л доверху наполнена водой. В нее ставят тело объемом 0,5 л и массой 0,6 кг. Сколько воды вытечет из кастрюли?
Ответ
12
Жестяная банка с грузом плавает на поверхности воды, налитой в сосуд. При этом уровень воды в сосуде равен h2. Больше или меньше h2 будет уровень h3, если груз из банки переложить на дно сосуда? Плотность груза больше плотности воды.
Решение
h3 станет меньше h2, поскольку груз будет вытеснять объем воды, равный своему объему, а находясь в жестяной банке, груз вытесняет объем воды, масса которого равна массе груза.
13
В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна S налита жидкость с плотностью ρ. На сколько изменится уровень жидкости в сосуде, если в него опустить тело произвольной формы массой m, которое не тонет?
Ответ
14
В U-образной трубке сечением S налита жидкость с плотностью ρ. На сколько поднимется уровень жидкости в правом колене трубки по отношению к первоначальному уровню, если в левое колено опустили тело массой m и плотностью ρ1 < ρ?
Ответ
15
На дне водоема установлена бетонная конструкция грибовидной формы, размеры которой указаны на рисунке.
Глубина реки H. С какой силой F давит конструкция на дно реки? Плотность бетона ρ, воды ρ0.
Решение
Сила давления бетонной конструкции на дно складывается из веса конструкции и разности сил, возникающих в результате гидростатического давления на верхнюю и нижнюю поверхности конструкции:
.
Вес конструкции равен:
.
Сила, возникающая в результате гидростатического давления на верхнюю поверхность конструкции, равна:
.
Сила, возникающая в результате гидростатического давления на нижнюю поверхность конструкции, равна:
.
Таким образом, искомая сила F равна:
.
16
Деревянный кубик лежит на дне сосуда. Всплывет ли он, если в сосуд налить воду (вода не проникает под кубик)?
Решение
Не всплывет, т. к. выталкивающая сила не возникает из-за отсутствия воды под нижней гранью кубика.
17
Круглая дырка площадью S1 в дне сосуда прикрыта без усилия конической пробкой с площадью основания S2. При каком наибольшем значении плотности материала пробки ρ можно добиться ее всплытия, доливая воду в сосуд? Плотность воды ρ0.
Решение
Архимедова сила, действующая на пробку, достигает максимума, когда уровень воды достигнет верха пробки. Пробка всплывет, когда подъемная сила превысит вес пробки. Подъемная сила равна весу воды, объем которой равен объему заштрихованной области пробки на рисунке:
.
Найдем подъемную силу:
.
Найдем вес пробки:
.
Тогда ρ найдем из уравнения:
,
откуда
.
Поскольку малый и большой конус подобны:
,
тогда
.
18
Пустую открытую бутылку погрузили в воду горлышком вниз на некоторую глубину h и опустили. При этом бутылка не всплывала, не опускалась, а находилась в положении равновесия. Почему? Будет ли это равновесие устойчивым? Определить глубину погружения, если емкость бутылки V0 = 0,5 л, масса m = 0,4 кг. Давление атмосферы p0 = 101 кПа, температура постоянная. Объемом стенок бутылки пренебречь.
Решение
Давление воды на глубине h: p1 = p0 + ρgh. Для воздуха в бутылке, сжимающегося по мере погружения бутылки, можно записать закон Бойля-Мариотта: p0V0 = p1V1, где V0 и V1 — объем воздуха в бутылке соответственно до и после погружения. Поскольку бутылка находится в равновесии, то ее вес равен архимедовой силе: mg = ρV1g. Таким образом, получаем систему уравнений:
Решив ее, получим:
.
Равновесие будет неустойчивым.
19
Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала с плотностью ρ1 плавает на поверхности жидкости с плотностью ρ2. Какова должна быть плотность ρ вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
Решение
Чтобы шар находился в состоянии безразличного равновесия, вес вытесняемой шаром жидкости должен быть равен весу шара:
.
Отсюда находим ρ:
.
20
Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем V внутренней полости шара, если масса шара m = 5000 г, а плотность чугуна ρ = 7,8 г/см3.
Решение
Поскольку шар наполовину погружается в воду, то архимедова сила, действующая на шар, равна весу воды, объем которой равен половине объема шара. Объем шара складывается из искомого объема V и объема чугунной части шара, равного m/ρ. Таким образом, можно составить уравнение:
,
где ρ0 плотность воды, откуда:
≈ 9360 см3.
21
На весах уравновешен сосуд с водой. Как изменится равновесие, если в воду целиком опустить подвешенный на нитке брусок размером 5x3x3 см3 так, чтобы он не касался дна? Какой груз и на какую чашку надо положить, чтобы сохранить равновесие?
Решение
В соответствии с 3-м законом Ньютона, на чашку весов с сосудом с водой будет действовать сила, равная по модулю выталкивающей силе, действующей на брусок, но направленной в противоположную сторону. Таким образом, чтобы уравновесить весы, необходимо в противоположную чашку весов положить груз массой m = ρV = 45 г.
22
Алюминиевый и железный сплошные шары уравновешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если шары погрузить в воду? Рассмотреть два случая: а) шары одинаковой массы; б) шары одинакового объема.
Решение
Ответ: а) железный шар перевесит, поскольку на алюминиевый шар действует большая выталкивающая сила, чем на железный, так как объем алюминиевого шара больше объема железного шара такой же массы. б) железный шар перевесит, поскольку момент выталкивающей силы, действующей на алюминиевый шар, больше момента выталкивающей силы, действующей на железный шар, так как плечи рычага в этом случае не равны.
23
Вес куска железа в воде P = 1,67 H. Найти его объем Vж. Плотность железа ρж = 7,8 г/см3.
Решение
Вес куска железа в воде равен разности веса куска железа вне воды и выталкивающей силы, действующей на него в воде:
,
откуда:
= 25,1 см3.
24
Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела?
Решение
Вес тела в воде равен разности веса тела вне воды и выталкивающей силы, действующей на него в воде:
,
откуда:
,
или:
,
откуда:
= 1500 кг/м3.
25
Брусок дерева плавает в воде. Как изменится глубина погружения бруска в воде, если поверх воды налить масло?
Ответ
Уменьшится, поскольку увеличится давление на нижнюю грань бруска дерева.
26
Некоторое тело плавает на поверхности воды в закрытом сосуде. Как изменится глубина погружения тела, если накачать воздух в сосуд?
Ответ
Ответ: не изменится, если сжимаемость тела такая же, как и у воды. Если сжимаемость тела больше, чем у воды, то глубина увеличится. Если сжимаемость тела меньше, чем у воды, то глубина погружения тела уменьшится.
27
Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду. Определить силу натяжения нити F, если масса поплавка равна 2 кг и плотность пробки 0,25 г/см3. Массой нити пренебречь.
Решение
Сила натяжения нити равна разности архимедовой силы и веса пробки:
,
где ρ0 плотность воды.
Вынесем mg за скобки:
.
Подставив числовые значения, получим F ≈ 40 H.
28
На крюке динамометра висит ведерко. Изменится ли показание динамометра, если ведерко наполнить водой и погрузить в воду?
Ответ
Уменьшится на величину веса воды, вытесняемой стенками и дном ведра.
29
Сосуд, предельно наполненный водой, висит на динамометре. Изменится ли показание динамометра, если в воду опустить гирю, подвешенную на нити, не касаясь дна?
Ответ
Не изменится, поскольку вес воды, которая выльется, равен силе, противодействующей архимедовой силе, действующей на гирю.
30
На рычажных весах уравновешены сосуд с водой и штатив с медной гирей массой m = 100 г (рисунок). Затем гиря, подвешенная на нити, опускается в воду. Как восстановить равновесие весов? Плотность меди ρм = 8,9 г/см3.
31
Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается тогда, когда палочка расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится половина палочки. Какова плотность материала, из которого сделана палочка?
32
Два шарика радиусами r1 и r2, сделанные из материалов с плотностями ρ1 и ρ2, соединены невесомым стержнем длиной l. Затем вся система помещена в жидкость с плотностью ρ, причем ρ < ρ1 и ρ < ρ2. В какой точке стержня нужно его повесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?
33
Из сосуда, заполненного водой, выходит труба радиусом r и высотой h (рисунок). Труба закрыта круглой пластиной радиусом R и массой М, которую прижимает к трубе давление воды. С какой силой F нужно подействовать на пластину в точке А, для того чтобы она повернулась, открыв трубу? Сосуд заполнен водой до высоты H. Толщина пластины пренебрежимо мала.
34
На весах уравновешено тело, погруженное в жидкость. Изменится ли показание весов при нагревании жидкости вместе с погруженным в нее телом?
35
Сплошное однородное тело объемом V, плотность материала которого ρ, плавает на границе между тяжелой жидкостью с плотностью ρ1 и более легкой жидкостью с плотностью ρ2. Какая часть объема тела V1 будет находиться в тяжелой жидкости?
36
Кубик из дерева, имеющий сторону 10 см, плавает между маслом и водой, находясь ниже уровня масла на 2,5 см. Нижняя поверхность кубика на 2,5 см ниже поверхности раздела. Какова масса m кубика, если плотность масла 0,8 г/см3? Определить силы давления F1, и F2 на верхнюю и нижнюю грани кубика. Изменится ли глубина погружения кубика в воду при доливании масла?
37
Стальной кубик плотностью 7,8 г/см3 плавает в ртути (плотность 13,6 г/см3). Поверх ртути наливается вода так, что она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота H слоя воды? Длина ребра кубика а = 10 см. Определить давление р на нижнюю грань кубика.
38
Кусок пробки весит в воздухе 0,147 Н, кусок свинца 1,1074 Н. Если эти куски связать, а затем подвесить к чашке весов и опустить в керосин, то показания весов будет 0,588 Н. Определить плотность пробки, учитывая, что плотность керосина 0,8 г/см3, а свинца 11,3 г/см3.
39
В сосуд с водой погружается открытый цилиндрический стакан: один раз дном вверх, а другой — дном вниз, на одну и ту же глубину. В каком из этих случаев работа, которую нужно совершить, чтобы погрузить стакан в воду, будет больше? Вода из сосуда не выливается и в стакан, погруженный дном вниз, не попадает.
40
Две одинаковые по массе оболочки шара — одна из эластичной резины, а вторая из прорезиненной ткани — наполнены одним и тем же количеством водорода и у Земли занимают равный объем. Который из шаров поднимется выше и почему, если водород из них выходить не может?
41
Во сколько раз изменится подъемная сила газа, наполняющего аэростат (дирижабль), если будет применяться гелий вместо водорода?
42
К динамометру подвешена тонкостенная трубка ртутного барометра. Что показывает динамометр? Будут ли изменяться его показания при изменении атмосферного давления?
43
Определить приближенно массу газовой оболочки, окружающей земной шар.
44
Г-образная трубка, длинное колено которой открыто, наполнена водородом. Куда будет выгнута резиновая пленка, закрывающая короткое колено трубки?
45
В трубе с сужением течет вода. В трубу пущен эластичный резиновый мячик. Как изменится его диаметр при прохождении узкой части трубы?
46
Тело, имеющее массу m = 2 кг и объем V = 1000 см3, находится в озере на глубине h = 5 м.
Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту H = 5 м над поверхностью воды?
Равна ли совершенная при этом работа изменению потенциальной энергии тела? Объясните результат.
47
В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем таким образом, что нижний ее конец погружен в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м. Какую работу пришлось при этом совершить? Площадь поршня S = 1 дм2, атмосферное давление р = 101 кПа. Весом поршня пренебречь.
48
Подводная лодка находится на глубине h = 100 м. С какой скоростью через отверстие в корпусе лодки будет врываться струя воды? Сколько воды проникает за один час, если диаметр отверстия равен d = 2 см? Давление воздуха в лодке равно атмосферному давлению. Изменением давления внутри лодки пренебречь.
49
Из брандспойта бьет струя воды. Расход воды Q = 60 л/мин. Какова площадь поперечного сечения струи S1 на высоте h = 2 м над концом брандспойта, если вблизи него сечение равно S0 = 1,5 см2?
50
Почему быстролетящая пуля пробивает в пустом пластмассовом стакане лишь два маленьких отверстия, а стакан, наполненный водой, разбивается при попадании пули вдребезги?
fizikazadachi.ru
Давление воды в морских глубинах
В § 147было указано, что давление водяного столба высоты 10 метров равно одной атмосфере. Плотность морской соленой воды на 1—2% больше, чем плотность пресной воды. Поэтому можно с достаточной точностью считать, что погружение в море на каждые 10 метров дает увеличение гидростатического давления на одну атмосферу. Например, подводная лодка, погрузившаяся на 100 м под воду, испытывает давление, равное 10 атм (сверх атмосферного), что примерно соответствует давлению внутри парового котла паровоза. Таким образом, каждой глубине под поверхностью воды соответствует определенное гидростатическое давление. Подводные лодки снабжают манометрами, измеряющими давление забортной воды; это позволяет определять глубину погружения.
На очень больших глубинах уже начинает быть заметной сжимаемость воды: вследствие сжатия плотность воды в глубоких слоях больше, чем на поверхности, и поэтому давление растет с глубиной несколько быстрее, чем по линейному закону, и график давления несколько отклоняется от прямой линии. Добавка давления, обусловленная сжатием воды, нарастает пропорционально квадрату глубины. На наибольшей глубине океана, равной 11 км, она достигает почти 3% от полного давления на этой глубине.
Для исследования очень больших глубин применяют батисферы и батискафы. Батисфера — это стальной полый шар, способный выдержать огромное давление воды в морских глубинах. В стенке батисферы устраиваются иллюминаторы — отверстия, герметически закрытые прочными стеклами. Прожектор освещает слои воды, куда уже не может проникнуть солнечный свет. Батисферу, в которой помещается исследователь, опускают с корабля на стальном тросе. Таким образом удавалось достигнуть глубин около 1 км. Батискафы, состоящие из батисферы, которая укреплена внизу большой стальной цистерны, заполненной бензином (рис. 254), опускаются на еще большие глубины.
Рис. 254. Батискаф
Так как бензин легче воды, то такой батискаф, может плавать в глубине моря подобно дирижаблю в воздухе. Роль легкого газа играет здесь бензин. Батискаф снабжается запасом балласта и двигателями, при помощи которых он, в отличие от батисферы, может самостоятельно передвигаться, не будучи связан с кораблем на поверхности воды.
Вначале батискаф плавает на поверхности воды, подобно всплывшей подводной лодке. Для погружения в пустые балластные отсеки впускается забортная вода, и батискаф уходит под воду, опускаясь все глубже и глубже, до самого дна. Для всплытия сбрасывают балласт и облегченный батискаф всплывает снова на поверхность. Наиболее глубокое погружение было совершено 23 января 1960 г., когда батискаф пролежал 20 минут на дне Марианской впадины в Тихом океане, на глубине 10919 м под поверхностью воды, где давление воды (рассчитанное с учетом повышения плотности воды вследствие солености и вследствие сжатия) составляло свыше 1150 атм. Исследователями, опускавшимися в батискафе, были обнаружены живые существа даже на этой наибольшей глубине мирового океана.
Пловец или аквалангист, нырнувший под воду, испытывает на всей поверхности своего тела гидростатическое давление окружающей воды сверх действующего постоянно атмосферного давления. Хотя тело водолаза (рис. 255), работающего в резиновом костюме (скафандре), не соприкасается с водой непосредственно, оно испытывает такое же давление, как и тело пловца, так как воздух в скафандре должен быть сжат до давления окружающей воды. По этой же причине и воздух, подаваемый по шлангу водолазу для дыхания, должен накачиваться под давлением, равным давлению воды на глубине погружения водолаза. Такое же давление должно быть у воздуха, поступающего из баллонов со сжатым воздухом в маску аквалангиста. Под водой приходится дышать воздухом повышенного давления.
Рис. 255. Водолаз в резиновом костюме с металлическим шлемом. Воздух водолазу подается по трубке
Рис. 256. Водолазный колокол
Не спасает подводника от повышенного давления и водолазный колокол (рис. 256), или кессон, так как и в них воздух должен быть сжат настолько, чтобы не допустить воду в колокол, т. е. до давления окружающей воды. Поэтому при постепенном погружении колокола в него все время подкачивают воздух с тем расчетом, чтобы давление воздуха было равно давлению воды на данной глубине. Повышенное давление вредно отражается на здоровье человека, и это ставит предел глубине, на которой возможна безопасная работа водолаза. Обычная глубина погружения водолаза в резиновом скафандре не превосходит 40 м: на этой глубине давление увеличено на 4 атм. Работа водолаза на большей глубине возможна только в жестком («панцирном») скафандре, принимающем на себя давление воды. В таком скафандре можно безопасно находиться на глубине до 200 м. Воздух в такой скафандр подается при атмосферном давлении.
При длительном пребывании под водой при давлении, значительно превышающем атмосферное, большое количество воздуха оказывается растворенным в крови и других жидкостях организма водолаза. Если водолаз быстро поднимается на поверхность, то воздух, растворенный под большим давлением, начинает выделяться из крови в виде пузырьков (так же, как выделяется в виде пузырьков воздух, растворенный в лимонаде, находящемся в закупоренной бутылке под повышенным давлением, при вытаскивании пробки). Выделяющиеся пузырьки причиняют резкую боль во всем теле и могут вызвать тяжелое заболевание («кессонная болезнь»). Поэтому водолаза, долго пробывшего на большой глубине, следует поднимать на поверхность медленно (часами!), чтобы растворенные газы успевали выделяться постепенно, не образуя пузырьков.
sfiz.ru
